任意質量的三個星球在重力作用下如何運動？牛頓1687年提出的這個著名的“三體問題”，三百余年來得到國際學術界的廣泛關注，成為歷史上最著名的科學問題之一。根據Montgomery提出的三體問題周期軌道的拓撲分類法，自1687年到1993年三百余年內，僅發現三體問題三個周期軌道家族，即：（1）Euler–Lagrange家族（精確解，歐拉1740年，拉格朗日1772年），（2）BBH家族（數值解，Broucke 1975年，Broucke 和 Boggs 1975年，Hadjidemetriou 1975年，Hénon 1976年）（3）Figure-8家族（數值解，Moore 1993年）。為什么三體問題周期軌道如此難找？1890年龐加萊發現，三體系統的運動軌跡一般不存在第一類積分（即解析解一般情況下不存在），且對初始條件非常敏感：任何微小擾動都會被指數放大，導致其軌跡與真解的迅速分離。這種軌跡對微小擾動的敏感性，1963年被Lorenz再次發現，并提出著名的“蝴蝶效應”。該特性的發現標志著“混沌動力學”的誕生，它與量子力學、相對論被認為是20世紀最偉大的三大物理理論之一。正是因為三體問題本質上的混沌性，導致即使采用傳統的數值方法也很難在一個較長時域內獲得三體系統的準確軌道。這很好地解釋了，為什么自牛頓1687年提出三體問題后三百余年，僅僅發現三體問題三族周期軌道。

眾所周知，任何數值計算都存在誤差。1989年Lorenz發現，由于“蝴蝶效應”，微小的數值誤差作為一種人為的小擾動，同樣會導致混沌系統數值解（軌跡）的迅速偏離。特別是，Lorenz發現，如果采用雙精度（double precision）數值求解混沌動力系統，無任時間步長多么短，混沌系統的軌跡都不收斂。這很好地解釋了，為何在2013年計算機性能達到每秒100億億次量級時，僅發現三體問題11族新的周期軌道。

2009年上海交通大學廖世俊提出一個數值求解混沌動力系統收斂軌跡的策略，即Clean Numerical Simulation (CNS)。CNS不僅減少數值模擬的截斷誤差，還采用多精度數據 (multiple precision) 代替雙精度（double precision），將整個數值誤差降到任意小，從而可以在一個足夠長的時域內獲得混沌系統收斂的數值解。因此，CNS在理論上為準確獲得三體問題的周期軌道鋪平了道路。2017年，廖世俊團隊將CNS與搜尋法和Newton–Raphson迭代法相結合，成功獲得等質量、零角動量的三體問題695族周期軌道（Science China – Physics, Mechanics & Astronomy, 2017），其中包括 ?uvakov 和 Dmitra?inovi? 2013年發現的11族（周期均小于100）周期軌道，466族周期軌道的周期都大于100，從未見報道。2018年廖世俊團隊與上海交通大學物理和天文學院景益鵬院士合作，應用CNS和搜尋法以及Newton–Raphson迭代法，進一步成功獲得兩個質量相等、角動量為零的三體系統1349族新周期解 ( Publications of the Astronomical Society of Japan, 2018 )。對于任意不等質量的三體問題，2021年廖世俊與李曉明等合作將CNS與comtinuation method和Newton–Raphson迭代法相結合，從一個已知的、具有相同質量的三體問題周期軌道出發，成功獲得該三體系統任意不等質量的135445個周期解（Science China – Physics, Mechanics & Astronomy, 2021），將三體問題周期軌道數量增加了幾個數量級，證實了CNS求解三體問題周期軌道（特別是長周期軌道）的有效性。值得指出的是，與太陽-地球-月亮這樣的分級結構（hierarchical）明顯不同，這135445個周期軌道是非分級結構（non-hierarchical），而且很多都是穩定的，其質量范圍與2019年諾貝爾物理獎獲得者Michel Mayor 和 Didier Queloz所發現的太陽系外（具有分級結構的）第一個環繞類太陽恒星的行星相近，因此很有可能在宇宙中確實存在，有可能被天文學家觀察到。

圖一：利用機器學習尋找同一族三體系統不同星球質量的周期軌道。左下角紅色區域為用傳統方法獲得的少數已知周期軌道。相同顏色表示同一次外插，機器學習可以找到的周期軌道之最大區域。m1和m2為兩個星球質量（m3 = 1）

2022年，為了進一步大幅提高計算效率，廖世俊、李曉明、楊宇將CNS與機器學習和Newton–Raphson迭代相結合，利用前述傳統方法獲得的少數周期軌道之初始條件為初步訓練集，應用機器學習給出星球質量外插時三體問題周期軌道初始條件的預估值，再用CNS高精度地獲得星體運動收斂軌跡，用Newton–Raphson不斷修正初始條件，迭代找到其精確周期軌道；并用每一次外插獲得的所有新周期軌道組成一個更大的訓練集，不斷增加星球質量外插范圍，同時不斷改進機器學習模型對周期軌道初始值的預估精度，直至找到該族三體問題所有不同質量的周期軌道，如圖1所示。最后，采用這樣獲得的所有周期軌道訓練出的機器學習模型，對于（存在周期軌道之區域內）任意質量的三體問題都能足夠精確地預測其周期軌道之初始條件、周期和穩定性，如圖2所示。該基于CNS和機器學習的策略，將計算效率提高了幾個數量級，為高效地獲得三體問題的周期軌道提出了一個全新的路線圖。該論文2022年在國際天文學雜志New Astronomy上發表（ https://doi.org/10.1016/j.newast.2022.101850 ），其相關機器學習程序和周期軌道可在GitHub ( https://github.com/sjtu-liao/three-body ) 免費下載。

值得特別指出的是，由于采用CNS，廖世俊團隊及其合作者獲得的（無因次）周期軌道達到60位有效精度：即使以宇宙直徑（930光年）為特征長度，其初始位置的精度也達到1.0E-41米量級，遠小于具有物理意義的最小長度 —— 普朗克長度 （1.62E-35米）。因此，從物理學觀點而言，進一步提高計算結果的精度，沒有任何物理意義，盡管采用CNS很容易做到這一點。所以，應用CNS獲得的三體問題周期軌道之精度是如此之高，以至于其就是物理意義上的精確軌道。換言之，從物理上講，應用CNS可以獲得三體問題周期軌道的精確解！

廖世俊、李曉明、楊宇基于CNS和機器學習提出的求解三體問題周期軌道的路線圖，將計算效率提高了幾個數量級，為獲得三體問題海量的、（物理意義上）精確的周期軌道鋪平了道路。在擁有高性能計算機的今天，已經沒有任何障礙，可以阻止人類獲得三體問題海量的、（物理意義上）精確的周期軌道。三體問題的解決，本質上依賴高性能計算機和數學方法?；仡?“三體問題”這個著名難題三百余年的求解歷史，人們不禁要感謝那些偉大的數學家、物理學家和工程技術人員，特別是創建“混沌動力學”的龐加萊，計算機和人工智能之父圖靈，提出現代計算機體系結構的馮-諾伊曼，以及參與發明集成電路而獲得2000年諾貝爾物理獎的Jack S. Kilby。三體問題周期軌道這個經典難題的解決，是理論和技術融合的典范。

三體問題周期軌道的求解，證實了CNS求解復雜混沌問題的有效性和潛力。理論上，CNS可應用于N體問題（N > 3）周期軌道的求解，星系演化的精確數值模擬，湍流的精確數值模擬，等等。

圖二：機器學習預測的不同質量的三體問題周期解所模擬的周期軌道。藍線：第一個星球；紅線：第二個星球；黑線：第三個星球。

【作者簡介】

廖世俊博士，上海交通大學，船舶海洋與建筑工程學院 講席教授

上海交通大學物理和天文學院 兼職教授

李曉明博士，暨南大學，力學與建筑工程學院 副教授

楊宇，上海交通大學，船舶海洋與建筑工程學院 博士研究生